SEJARAH
GEOMETRI NON EULCIDE
Awal abad ke-19
akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan
non-Euclidean geometri. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hungaria János Bolyai
dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah
pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut
Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama
lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah
Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan
seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan
meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua
Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter.
Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk
memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik
Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann,
dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri
Riemann, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold, Riemannian
metrik, dan kelengkungan. Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri
yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada
bola satuan dalam ruang Euclidean. Yang paling sederhana ini disebut geometri
berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena
kurangnya garis paralel. [9]
[Sunting] Terminologi
Itu Gauss yang
menciptakan istilah “non-euclidean geometri” [10] Dia merujuk pada karyanya
sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.. Beberapa penulis modern
yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik”
menjadi sinonim. Pada tahun 1871, Felix Klein, dengan mengadaptasi metrik
dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi
sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri
hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective
geometri. [ 11] Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan
“eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah
istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan
penggunaan saat ini dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri
“hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat
matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut
“non-euclidean” dengan berbagai cara [12] Dalam disiplin ilmu lainnya., Fisika
terutama matematika paling, istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak
Euclidean .
[Sunting] aksioma dasar
non-Euclidean geometri
Geometri Euclidean
aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli
Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya
mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai
aksioma. Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma [13] paling dekat
mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid.
Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan
geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,
bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima postulat
Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara
Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada
sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen.” Dalam salah satu sistem,
penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk
apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh,
menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The
Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan
itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak [14].
Untuk mendapatkan
geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh
negasinya. Meniadakan bentuk aksioma Playfair, karena itu adalah pernyataan
majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara.
Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis
diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang
diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen)
dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P,
terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma
lainnya, hasil geometri hiperbolik [15]. Kasus kedua tidak ditangani dengan
mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat,
diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”,
tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel
ada di geometri mutlak [16], tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada
garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam,
Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal
sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang
meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma
lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang
digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua
postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa
batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Geometri eliptik Riemann
muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.
SEJARAH
KALKULUS
Kalkulus (Bahasa Latin:
calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah
ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan
aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta
aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains,
ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat
dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua
cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling
berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu
gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus
mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Sejarah perkembangan
kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman
pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman
kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak
dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada
Papirus
Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang
Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran
ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman
pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil
takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara II pada
abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang
sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang
pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan
dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk
menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap
perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din
al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. Pada abad ke-14,
Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan
matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor, yang
dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern,
penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan
seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis
danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan
sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Leibniz dan Newton mendorong
pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan
tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang
hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang
fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak
digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz
mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara
matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan
terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi
Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci
menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari
integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan
penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan
Newton menamakannya “The science of fluxions“.
Sejak itu, banyak matematikawan yang
memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang
sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia
terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Pengaruh penting
Walau beberapa konsep
kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India,
Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada
abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan
prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang
kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus
diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu
kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan
luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih
jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga
digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu,
dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha
memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah
dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh
terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang
limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks
tersebut.
Aplikasi
Pola spiral logaritma
cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan
perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Kalkulus digunakan di
setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis,
kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di
mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda
dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan
total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin
listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari
sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus
di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada
turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan
gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari
hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus
diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan.
Teori elektromagnetikMaxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan
menggunakan kalkulus diferensial.