Persamaan Lingkaran

LINGKARAN

A.   PERSAMAAN LINGKARAN

 

Persamaan umum dengan pusat (-1/2 a,-1/2b) dan jari-jari  r 

Jadi,prinsip persamaan lingkaran adalah menentukan dulu pusat dan jari-jarinya.

Contoh :

1.    Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x di (3,0) dan menyinggung sumbu y negatif.

Jawab :

Pusat : (3,-3)

Jari-jari = 3

Persamaan :

(x – α)² + (y – β)² = R²

(x – 3)² + (y – 3)² = 9

x² + y² – 6x + 6y + 9 = 0 

2.    Sebuah lingkaran melalui titik (1,0) dan menyinggung sumbu y positif di titik (0,3). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Jawab :

·      P (x,3) = pusat lingkaran

·      Garis singgung pada lingkaran selalu tegak lurus pada jari-jari.

    Maka R = x (absis titik pusat)

·      Jari-jari lingkaran sama juga dengan jarak pusat ke titik (1,0)

     R² = (x – 1)² + (3 – 0)²

     R² = (R – 1)² + 9

     R² = R² – 2R + 1 + 9

     2R = 10 → R = 5

 

    Pusat lingkaran : (5,3)

    Jari-jari : R = 5

    Persamaan : (x – α)² + (y – β)² = R²

      (x – 5)² + (y – 3)² = 5²

x² + y² – 10x – 6y + 9 = 0

B.   LINGKARAN DAN TITIK

     Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran :

     1.    Titik di luar lingkaran,jika kuasa titik (K) > 0

     2.    Titik pada lingkaran,jika kuasa titik (K) = 0

     3.    Titik di dalam lingkaran,jika kuasa titik (K) < 0

·      Kuasa titik (K) terhadap lingkaran :

    Definisi :

1.    Kuasa titik terhadap lingkaran adalah bilangan yang di dapat dari pemetaan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran umum.

2.    Kuasa titik terhadap lingkaran adalah kuadrat jarak antara titik itu ke titik singgung dari garis pada lingkaran.

Contoh :

1.    Diketahui persamaan x² + y² = 9 dan titik P (5,1)

Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x² + y² = 9 adalah :

K = 25 + 1 – 9 = 17

K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran

Menurut definisi (2) K = PQ²

 Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17

C.   LINGKARAN DAN GARIS

    Ada 3 kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran,yaitu :

   1.    Garis memotong lingkaran di dua titik ika D > 0

   2.    Garis menyinggung lingkaran jika D = 0

   3.    Garis di luar lingkaran jika D < 0

   Contoh :

   Hitung nilai P agar garis y = x + 1 menyinggung lingkaran x² + y² = p

  Jawab :

  -      Garis : y = x + 1 .............  (1)

  -      Lingkaran x² + y² = p ............  (2)

  -      Persamaan (1) substitusi ke persamaan (2) menjadi :

      x² + (x + 1)² = p

     x² + x² + 2x + 1 = p

    2x² + 2x + 1 – p = 0

    Karena menyinggung lingkaran,maka D = 0

    (2)² – 4 . 2 (1 – p) = 0

                4 – 8 + 8p = 0

                            8p = 4

                             P = ½

D.   GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

    1.    Garis singgung bergradien m pada lingkaran yang berpusat (α,β) dan berjari-jari r

 

    2.    Garis singgung melalui titik pada lingkaran

          a. Lingkaran berpusat (α,β) berjari-jari r dan titik singgungnya P (x₁,y₁)

          b. Lingkaran dengan persamaan x² + y² + ax + bx + c = 0 dan titik singgungnya P (x₁,y₁)

    3.    Garis singgung melalui titik di luar lingkaran

Prinsip : persamaan garis di substitusi ke persamaan lingkaran,kemudian D = 0

Contoh :

1.    Tentukan persamaan garis melalui titik (16,18) dan menyinggung lingkaran (x - 10)² + (y – 10)² = 100

Jawab :

·      Persamaan lingkaran : (x – 10)² + (y – 10)² = 100

·      Titik (16,18) terletak pada lingkaran di atas,maka persamaan garis singgung :

     (x – x₁) (x – α) + (y – y₁) (y – β) = R²

    (16 – 10) (x – 10) + (18 – 10) (y – 10) = 100

                           3 (x – 10) + 4 (y – 10) = 50

                                  3x – 30 + 4y – 40 = 50

                                        3x + 4y – 120 = 0

2.    Garis g mempunyai gradien 2 dan menyinggung lingkaran x² + y² = 9. Tentukan persamaan garis g.

    Jawab :

    x² + y² = 9                 Pusat : (0,0)

                                     Jari-jari = R = 3

   Persamaan garis g :

      y = mx ± R √(1 + m2)

         = 2x ± 3 √(1 + 4)

         = 2x ± 3 √5

E.   LINGKARAN DAN LINGKARAN

 Kedudukan dan syarat-syaratnya :

1.    Saling asing                                                                                  

                                                                                      

 

2.    Bersinggungan dalam                                                              

                                                                                     

 

3.    L1 di dalam L2

 

 

4. Bersinggungan luar

 5. berpotongan

 

 

Contoh soal :

a.    Jika x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0 dan x² + y² – 4x – 4y – 17 = 0 adalah persamaan –persamaan lingkaran. Tentukan kedudukan kedua lingkaran itu.

    Jawab :

    L1 :

    x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0

    Pusat :

        P = (-1/2 A,-1/2 B) = (1,-2)

    Jari-jari :

 

   

L2 :

    x² + y² – 4x – 4y – 17 = 0

Jadi L1 berpotongan dengan L2

UAS IX genap HK 2013